Matheproblem: Koordinatenform zu hessescher Normalform?

[Jonas]

Moin!
Stehe gerade irgendwie aufm Schlauch! Vielleicht kann mir hier ja einer helfen!

Also ich habe z.B. eine Aufgabe, bei der ich den Abstand eines Punktes zu einer Ebene im dreidimensionalen Raum berechnen soll!

Zur Verfügung habe ich entweder die Prameterform einer Ebene, oder die Koordinatenform!
Um den Abstand jetzt zu berechnen wäre es ja am einfachsten das jeweils in die hessesche Normalform umzuwandeln...

Allerdings blicke ich da gerade mal gar nicht durch, wie das gehen soll!
Wäre super, wenn mir das jemand am Beispiel mit der Koordinatenform verdeutlichen könnte:

Ich hätte also: 45x + 23x -31x = d

Wie mache ich daraus jetzt die hessesche Normalform?

Vielen vielen Dank schonmal!

[speedy]

Ich hätte also: 45x + 23x -31x = d

Hmm ... stimmt die wirklich so ? - weil daraus könntest du ja 37x = d machen. Muß das nicht eher mit x y und z geschrieben werden ? - von wegen dem 3D Raum.


MFG,
speedy

[Jonas]

Wäre jeweils x1, x2, x3! Sorry, hatte ich nicht mit hin geschrieben...

[MichaelS]

Du meinst wahrscheinlich
45 x + 23 y - 31 z = d

Wenn die Ebene in dieser Form gegeben ist, dann kannst Du den Normalenvektor direkt ablesen: n = (45,23,-31). Denn es glit ja dann
((45,23,-31) * (x,y,z) = d, (eigentlich Spaltenvektoren, Skalarprodukt)
und das ist schon die Hessesche Normalenform (velleicht bei Euch noch irgendwie normiert. Jetzt kann man die bekannte Form verwenden, um den Abstand Punkt-Ebene zu berechnen.

Michael

[Jonas]

Hi Michael!
Na klar, so einfach wars...

Für x,y,z werden ja dann bei der bekannten Formel einfach die Koordinaten des Punktes eingesetzt, oder?

EDIT: Aber was ist denn jetzt "d" in dem Beispiel? ist das einfach -159 oder wie?

Ups, hatte ja oben vergessen, dass d=-159 ist! ist das dann in der hesseschen form auch so?

[MichaelS]

Da bin ich mir nicht sicher, welche Formel du meinst. Manchmal wird die Ebene auch in der Form

n*(r-r1) = 0

gegeben, dabei ist r dann (x,y,z) und r1 ein Punkt auf der Ebene. Das ist dann nicht das gleiche wie das, was Du angegeben hast.

Michael

[Jonas]

Ich meine die Formel die im Anhang ist!
Da wird ja dann für x1,x2,x3 die Koordinaten des Punktes eingesetzt, oder?

[MichaelS]

Ja, ist (fast) korrekt. Statt = 0 hast Du dann den Abstand. Allerdings kann es sein, dass dein Resultat positiv oder negativ ist. Dein Lehrer legt vielleicht Wert darauf, dass du den Absolutbetrag vom Resultat nimmst, so dass de Abstand >=0 ist.

Michael

[Jonas]

Ja, das ist klar, dass da dann der Abstand raus kommt.

Wir haben dann meistens mit dem Betrag gearbeitet.

Aber nochmal zur hesseschen Form:
Das d was da dann steht, ist das einfach das d das auch schon in der koordinatenfrom steht, oder muss man das irgendwie getrennt ausrechnen?

[MichaelS]

Ja, das ist das d, das in deiner ersten Formel auf der rechten Seite steht.

Michael

[Jonas]

OK, vielen Dank für deine Hilfe!
Du hast mein Abi gerettet...